El área de un polígono a partir de las coordenadas de sus vértices se calcula con la fórmula de Gauss, también llamada del cordón o de la lazada: la mitad del valor absoluto de la suma de los productos cruzados xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ. La herramienta acepta coordenadas UTM o geográficas, muestra cada paso del cálculo y dibuja el polígono en el mapa para comprobar el orden de los vértices.
¿Cómo se calcula el área de un polígono con coordenadas?
El área de un polígono con coordenadas se calcula multiplicando en cruz las coordenadas de cada vértice con las del siguiente, sumando todos esos productos y tomando la mitad del valor absoluto. Los vértices deben ir en orden, siguiendo el contorno, y el último se une con el primero.
Área = ½ · | Σ (xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ) |
Ejemplo con cuatro vértices en coordenadas UTM (metros):
| Vértice | X (m) | Y (m) | xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ |
|---|---|---|---|
| 1 | 440.000 | 4.474.000 | −532.480.000 |
| 2 | 440.120 | 4.474.010 | 82.150.300 |
| 3 | 440.110 | 4.474.095 | 507.919.275 |
| 4 | 439.995 | 4.474.080 | −57.570.000 |
| Suma | −19.575 |
La mitad del valor absoluto de la suma es 9.787,5 m², es decir, 0,98 hectáreas, y el perímetro de los cuatro lados es de 402 m. El signo negativo solo indica que los vértices se recorrieron en el sentido de las agujas del reloj.
¿Cómo se calcula con coordenadas UTM?
Con coordenadas UTM la fórmula de Gauss se aplica directamente, porque X e Y ya están en metros sobre un plano. El resultado es el área en la proyección UTM, que difiere muy poco del área real sobre el terreno por el factor de escala de la proyección.
La diferencia es pequeña: en el meridiano central del huso el área proyectada es un 0,08 % menor, y en los bordes del huso, hasta un 0,08 % mayor.
Para fincas y obras esa diferencia suele ser despreciable; para trabajos topográficos de precisión, la herramienta indica el factor de escala del lugar y el área corregida.
¿Cómo se calcula con latitud y longitud?
Con latitud y longitud la fórmula de Gauss no sirve directamente, porque los grados no son metros y un grado de longitud mide menos cuanto más cerca está del polo. Hay que proyectar antes los vértices a un plano (por ejemplo, UTM) o calcular el área sobre el elipsoide; la herramienta hace el cálculo sobre el elipsoide WGS84.
¿Cómo se calcula el área de un polígono irregular en el plano cartesiano?
El área de un polígono irregular en el plano cartesiano se calcula con la misma fórmula de Gauss, colocando las coordenadas de los vértices en orden y multiplicando en cruz. Funciona para cualquier polígono simple, tenga cuatro lados o veinte, siempre que sus lados no se crucen entre sí.
Si los lados se cruzan, el polígono deja de ser simple y la fórmula da un resultado sin sentido; la herramienta lo detecta y avisa de qué vértices están desordenados.
¿Cómo se calcula el área de un polígono regular?
El área de un polígono regular se calcula multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo entre dos. Un hexágono regular de 10 m de lado tiene un perímetro de 60 m y una apotema de 8,66 m, así que su área es de 259,8 m². Para polígonos con coordenadas conocidas, la fórmula de Gauss da el mismo resultado.
¿Cómo convertir las coordenadas antes de calcular?
Si los vértices están en grados, minutos y segundos o en otro sistema, se convierten antes con el conversor de coordenadas UTM o el de muchas coordenadas desde Excel. El polígono resultante se puede exportar a KML desde la herramienta de conversión de formatos.